タイトル
方程式・不等式・数と式ジャンル
書籍/その他公開日
2024年03月20日更新日
2024年03月20日作品紹介
方程式の解法やそれに携わった多くの数学者の伝記やエピソードについては、参考図書のように多くの著者によって紹介されています。3次方程式の解法に関して、タルタニアとカルダノに関するエピソードも授業では語られることが多く、方程式の関する先人たちのドラマが生まれています。
目次
方程式・不等式
§１．方程式の解法を歴史に学ぶ
１．方程式を立てることの便利さ
（1）昔の問題 （2） 中学校の受験問題 ギリシャとヘレニズム文化の時代
２． ２次方程式はいつ頃現れたか
（1）ヘロンの方程式
（2）ディオファントスの方程式
（3）アリアバータの方程式 ブラーフマグプタ アリヤバータ
（4）アル・フワリズミの方程式 ① 5x-7=3x+5の移項
②アル・フワリズミの2次方程式 2次方程式 x^2+px=qの解法 インド・アラビアはどのような時代だったか
(5) インドの数学者 ① アリアバ－タ ② ブラフマグプタ ③ バスカラ
（6）イスラムの数学者 ①アル・フワリズミ ②オマル・ハイヤーム
ちょっとひと息 方程式のパラドックス
(1) 貫と㎏ (2) ドルと円
３．明治・大正時代の方程式の問題
(1) 日本で最初の横書きの教科書、藤沢利喜太郎
(2）船の速さ 参考；「海里」
（3） 地球の半径 参考； 海軍兵学校 ① ちょっとひと息 置き換え 中国の数学書 ② 青い眼の侍 ウィリアム・アダムス
4．アメリカのテキストの２次方程式の記述
(1) 2次方程式 Quadratic formula （2）問題解決
5．明治時代の２次方程式の記述
(1) 未知数の平方のみを含む一元二次方程式之解法．
(2) 壱般之一元二次方程式解法 明治の教科書の問題例、昭和の入試問題
§２ 3次、4次、高次方程式へのいざない
6．3次、4次方程式の解法
(1) 方程式で学ぶ内容 高次方程式の解法 x^3=a^3の解
(2) 3次方程式の解法 (ⅰ) x^3-x^2+11x-6=0
（ⅱ） 2x^3-6x^2+12x+5=0
(ⅲ） ３次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の解の公式
(3) 4次方程式の解法
(ⅰ) x^4-8x^3+14x^2+8x-15=0 （ⅱ）4次方程式の一般的な解法 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
具体的に4次方程式を解く
7．3次方程式・4次方程式に関わった人々
(1) タルタニア フェッロ、フロリダス、カルダノ、タルタニア
(2) 3次方程式のその後 ボンベリ、フェラーリ
8．5次方程式の解の公式がつくれないわけ
(1) 対称式
(2) 解の置き換え
ちょっとひと息 不等式の解法は、同値変形
9． 数学者 アーベル、ガロア、コーシー
(1) アーベル
(2) ガロア
(3) コーシー 参考；明治の教科書問題
10．解の存在 解の存在 注意；解の個数と存在
11．解と係数の関係
12．多項方程式の判別式 ① 2次方程式の解の判別式 ② 3次方程式の解の判別式 ③ ｎ次の多項方程式の解の判別式
ちょっとひと息 アレクサンドリアのムセイオンは総合大学だった
13． 因数定理 （カナダのテキスト、明治時代の教科書より）
(1) カナダのテキストより THE FACTOR THEOREM (因数定理)
(2) 明治時代の教科書より 明治の教科書 ちょっとひと息 ① 明治の学生はこの記述で理解できたのでしょうか ② 難しい日本語 定理
§3 教科書に登場する不等式
14．不等式の性質
(1) 不等式の解法 ① 1次不等式 ② 2次不等式
③ 高次不等式 ④ 分数不等式 ⑤ 無理不等式
(2) 条件付き不等式・絶対不等式
① 教科書に出てくる不等式 ② 相加、相乗、調和平均の大小関係
15．コーシー・シュワルツの不等式 ちょっとひと息 メートル法
16．相加・相乗平均の関係
(1) n=3,4のときの証明
(2) nが一般のときの証明
(3) 凸関数を用いた相加相乗平均 ① 凸関数について
② 凸関数の応用で、相加相乗平均の証明
(4) 相加平均・相乗平均・調和平均の意味
① 相加平均（算術平均 ② 相乗平均（幾何平均 ③ 調和平均
注意； なぜ調和平均と言われるのか？
ちょっとひと息 ① インド人と数学 ② ものの順番 ③昔の教科書問題（明治31）
17．不等式の解を求める場合の指導法
（1）符号の対応表を用いる場合
（2）関数のグラフを用いる場合
（3）多項不等式の解をグラフで求める場合
18． 5次不等式の対応表による解法 (1) 対応表による解法 (2) グラフを用いて
§４．指導要領範囲外の内容
１．方程式の解の存在
（1）ロルの定理
（2）平均値の定理
（3）中間値の定理
（4）微分法の方程式の応用
２．方程式の近似解の求め方
（1）２分法
（2）ニュートン法
３．分数方程式と無理方程式
（1） 分数方程式
（2）無理方程式
（3）方程式を解くことの意味
（4）必要条件と十分条件
（5）置き換え
４．行列と連立方程式
（1）基本事項
（2）クラーメルの公式
（3）連立方程式の掃き出し法
（4）ド・モアブルの定理を用いた方程式の解法
５．方程式を解くときの難しい例
（1）分数方程式を解くときの留意事項
（2）方程式の解の判別
（3）同値性
まとめ 方程式の定義および性質
（1）方程式の基本性質
（2）方程式の解法
（3）高次方程式
（4）連立方程式
数と式
目次
高等学校に登場する内容
１．数と式の章立て
２．数について教科書で学ぶ事項
１．数の分類 ２．整数の性質 ３．有理数の性質
４．実数の性質
５．計算の基本法則
６．複素数の計算
３．整数について教科書で学ぶ事項
１．式の分類 ２．整式の計算 ３．因数定理 ４．因数分解
５．公約数・公倍数
４．分数式について
１．分数式の加・減法 ２．比と比例式について教科書で学ぶ事項
５．無理数を創る例
６．平方根を求める手計算・・・開平
７．数学現代化運動で消えた教材・新規の教材
１．お目にかかれなくなった教材 ２．新規の教材
８．分数と小数のふしぎな関係
９．連分数で円周率πを表現
１．円周率を連分数表示 シモン・ステブン
２．中国の数学者 劉徽 張衡 李淳風 祖沖之
１０． 小学校で小数はどのように教えるか？
１．小数の登場 ２．数直線の登場 ３．算数・数学という用語
１１．「数と式」の章で、難しい大学入試問題
問題１～４
１２． 数字が文字と替わるのは
１．光の速さ ２．円周率π ３．自然対数の底e ４．虚数単位i
１３． 文字の役割
１．言語代数 ２．略字代数 ３．記号代数
１４． 因数定理で、因数を簡単に見つける方法
１５．定義と規約
１６．複素数の大小関係が定められないわけ
１．実数の大小関係 ２．複素係数をもつ2次方程式の判別式
１７．「かつ」と「または」の区別がつかない
１８．記述が曖昧な「n乗根」の定義
１９．「複素数αとβの積 αβ=0は、α=0またはβ=0が成り立つ」と教科書では書かれているが、その証明は？
２０．因数分解教科書以外の方法
１．展開の逆の操作として ２．解の公式を用いて ３．因数分解を用いて
４．恒等式を用いて ５．級数の和を用いて
２１． 0．9999・・・＝１は正しいか？
２２． 昭和５３年の関数論 複素数の記述
２３． 整式の指導がばらばら
２４． 因数分解の役割は
２５． 素因数分解に１が除外されるわけ、因数分解の一意性について
§２．実数から複素数
２６．数に関す歴史
２７．複素数に登場する数学者
ヴィエト、カルダノ、ジラール、デカルト、オイラー
２８． 虚数の幾何学的表示
２９． 複素数の構成
３０． ハミルトンと四元数
３１． 円周率πが無理数であることの証明
πが無理数であることの証明（ランベルト）
ランベルト 建部賢弘 建部賢明
§３．授業で脱線する教材・お話
３２． 逆転のチャンス、３割打者の敬遠策
３３． 悪魔の数６６６について
１．暴君ネロ ２．マルチン・ルターは獣
３．「666」で遊ぼう （ⅰ）日本の硬貨は悪魔のコイン ⅱ）36番目の三角数 （ⅲ）素数の初めから7番目までの平方の和は
（ⅳ） 円周率π＝3.14159 ・・・の小数点144位までの数字の和は
３４． 祖父の角倉了以と吉田光由
１．吉田光由 ２．数詞は仏教用語
３５． 25×25や32×38 などの計算術
３６． 宇宙人 地球をのっとる！
３７． 魔女への贈り物
３８． ホーウェル博士の遊び
開成中学のホーウェル擬似問題
３９． 消費税５％、８％の計算
４０． 大正時代の国定教科書にチャレンジ！
４１． 男を近づけなかった小野小町（おののこまち）
４２． 人殺しピタゴラス・ ソラマメ畑で死す
４３． 親愛数
§４．外国の教科書紹介
中国（集合）、日本（最大公約数）、フィンランド（数の分類）、韓国（集合）、
USA（実数）、USA(n進法)、カナダ（剰余の定
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